Geometrijska progresija i njegova svojstva

formacija

Geometrijska naprednost je važna umatematika kao znanosti i primijenjenog značenja, jer ima ekstremno širok opseg, čak iu višoj matematici, recimo, u teoriji serije. Prve informacije o progresijama došle su iz drevnog Egipta, osobito u obliku poznatog zadatka od papira Rhinda, oko sedam osoba s sedam mačaka. Varijacije ovog zadatka su se ponovile mnogo puta u različitim vremenima u drugim narodima. Čak je i veliki Leonardo Pizze, poznatiji kao Fibonacci (XIII. Stoljeće), okrenuo prema njoj u svojoj knjizi "Abacus".

Dakle, geometrijsko napredovanje ima drevnipovijest. Predstavlja brojčani niz s nule prvog dijela, a svaki slijedeći, počevši od drugog je određen množenjem prethodne ponavljanje formulu pri konstantnoj, nule broj koji zove nazivnik napredovanje (obično označeni primjenom slova q).
Očito je moguće pronaći dijeljenjem svake od njihsljedeći pojam slijeda prema prethodnom, tj. z 2: z 1 = ... = z n: z n-1 = .... Stoga, za određivanje napredovanja (z n), dovoljno je da je poznata vrijednost prvog termina y1 i nazivnika q.

Na primjer, pretpostavimo da je z 1 = 7, q = - 4 (q <0), dobivena je sljedeća geometrijska progresija: 7, - 28, 112, - 448, .... Kao što vidimo, dobivena sekvenca nije jednolična.

Sjetite se da je proizvoljan slijedmonoton (povećanje / smanjenje), kada je svaki njegov sljedeći uvjeti veći / manji od prethodnog. Na primjer, sekvence 2, 5, 9, ... i -10, -100, -1000, ... su jednolične, a druga od njih je smanjenje geometrijske napredovanja.

U slučaju kad je q = 1, u progresiji svi termini su jednaki i naziva se konstantna.

Da bi slijed bionapredovanje ovog tipa mora zadovoljiti sljedeće neophodno i dostatno stanje, i to: počevši od drugog, svaki od njegovih članova mora biti geometrijska sredina susjednih pojmova.

Ova imovina nam omogućuje pronalaženje proizvoljnog pojma progresije za dva poznata obližnja.

N-th pojam geometrijske progresije se lako može pronaći iz formule: z n = z 1 * q ^ (n-1), poznavajući prvi izraz z 1 i nazivnik q.

Budući da numerička sekvenca ima zbroj, nekoliko jednostavnih izračuna daje nam formulu koja nam omogućuje izračun zbroja prvih pojmova napredovanja, i to:

S n = - (z n * q - z 1) / (1 - q).

Zamjena vrijednosti z n u formuli izrazom z 1 * q ^ (n-1) dobivamo drugu formulu zbroja ove progresije: S n = - z1 * (q ^ n-1) / (1-q).

Sljedeća je zanimljiva činjenica vrijedna pažnje: glinena ploča, pronađena tijekom iskapanja drevnog Babilona, ​​koja potječe iz 6. stoljeća. BC, izvanredno sadrži zbroj 1 + 2 + 22 + ... + 29, jednako 2 u desetom stupnju minus 1. Rješenje ove pojave još nije pronađeno.

Zabilježimo još jednu osobinu geometrijske progresije - konstantan proizvod njegovih pojmova, razmještenih na jednaku udaljenost od krajeva slijeda.

Od posebne važnosti sa znanstvenog stajalištaTo je takva stvar kao beskonačno geometrijskom progresijom i izračunavanja iznosa. Pod pretpostavkom da (in) - što je geometrijska progresija ima nazivnik q, zadovoljavajući stanje | q | <1, njegova količina se odnosi na ograničenje prema kojem smo već znali zbroj prvih članova, uz neograničene povećanjem n, onda su na to približavanje beskonačnosti.

Pronađite taj iznos na kraju pomoću sljedeće formule:

S n = y1 / (l-q).

I, kao što je pokazala praksa, osim očite jednostavnostiOva progresija skriva ogroman primijenjeni potencijal. Na primjer, ako konstruiramo niz kvadrata pomoću sljedećeg algoritma, povezujući midpoints na stranama prethodnog, onda njihova područja čine beskonačnu geometrijsku progresiju s nazivnikom 1/2. Istu progresiju čine površine trokuta dobivenih u svakoj fazi izgradnje, a njezina je suma jednaka površini prvobitnog kvadrata.